Με πόσους τρόπους λέγεται το άπειρο

nea-acropoli-labyrinth

Read English version here!

Λέγεται δὲ τὸ ἄπειρον πενταχῶς. καθ’ ἕνα μὲν τρόπον ἄπειρον λέγεται τὸ μηδὲ πεφυκὸς ὅλως ἔχειν πέρας, ἀλλ’ οἷον ἀπόρευτον ὂν καὶ ἀδιεξίτητον τῷ μηδὲ ὅλως ἔχειν πορείαν διὰ τὸ μηδὲ ποσὸν ὅλως εἶναι, ὥσπερ καὶ τὴν φωνὴν ἀόρατον λέγομεν τῷ μηδὲ ὅλως πεφυκέναι ὑποπίπτειν τῇ ὄψει. τοιοῦτον δέ ἐστι τὸ σημεῖον καὶ αἱ ποιότητες· ἄπειρα γὰρ ταῦτα, τὸ μὲν σημεῖον ὅτι πέρας ὂν αὐτό πέρας οὐκ ἔχει, τῷ παντελῶς ἀμέγεθες εἶναι, ὁμοίως δὲ καὶ τὸ λευκὸν καὶ καθόλου ἡ ποιότης τῷ μηδ’ ὅλως πόρον ἔχειν.

Δεύτερον δὲ ἄπειρον λέγεται τὸ διέξοδον ἔχον ἀτελεύτητον, οὗπερ οὐκ ἔστι ποτὲ πέρας εὑρεῖν, οὐ τῷ μὴ δύνασθαι ἡμᾶς αὐτὸ διεξελθεῖν, ἀλλὰ τῷ αὐτὸ μηδέποτε ἀπολήγειν κατὰ τὴν ἔκτασιν μηδὲ περατοῦσθαι τὸ μέγεθος.

Τρίτον δὲ λέγομεν ἄπειρον, ὃ πέρας μὲν ἔχει, ἡμῖν δὲ διὰ δυσχέρειαν οὐ κατείληπται. τοῦτο δὲ συμβαίνει διχῶς, ἢ διὰ τὸ ποσὸν ἢ διὰ τὸ ποιόν. οὕτως οὖν ἄπειρον λέγομεν τὸν λαβύρινθον οὐ τῷ μὴ ἔχειν πέρας τι τῆς ὁδοῦ, ἀλλὰ τῷ σκολιὸν εἶναι καὶ διὰ τοῦτο δυσέκβατον. λέγομεν δε καὶ τὸν ὠκεανὸν ἄπειρον εἶναι διὰ τὸ μὴ δύνασθαι ἡμᾶς διὰ τὸ πολλὴν εἶναι τὴν ἔκτασιν διεξελθεῖν αὐτόν, αὐτοῦ γε πάντως ἀποπερατουμένου.

Λέγεται δὲ κατὰ τέταρτον τρόπον ἄπειρον, ὃ πέφυκε μὲν ἔχειν πέρας, οὐκ ἔχει δέ. τοιοῦτον δ’ ἐστὶν ὁ κύκλος· δυνατὸν μὲν γὰρ λαβεῖν κατ’ ἐνέργειαν σημεῖον ἐν αὐτῷ κἀκεῖθεν τὴν ἀρχὴν ποιήσασθαι, ἀλλ’ αὐτὸς οὐκ ἔχει ὡρισμένον τι σημεῖον κατ’ ἐνέργειαν· ὅθεν γὰρ ἂν βουληθῶ λαμβάνω τὴν ἀρχήν, ἐπεὶ καὶ ὁ γράφων τὸν κύκλον κέντρῳ καὶ διαστήματι οὐκ ἐξ ὡρισμένου σημείου τὴν ἀρχὴν ποιεῖται, ἀλλ’ ὅθεν ἂν βουληθῆ, καὶ ὁ κινούμενος δὲ ἐπὶ κύκλου δύναται ὅθεν ἂν βούληται ἄρξασθαι τῆς κινήσεως. οὕτως οὖν ὁ κύκλος ἄπειρος μὴ ἔχων μὲν οἴκοθεν πέρας, καὶ διὰ τοῦτο λεγόμενος ἄπειρος, δυνάμενος δὲ ἐν τῇ πρὸς ἄλλον σχέσει λαβεῖν.

Πέμπτον ἐστὶ τοῦ ἀπείρου σημαινόμενον τὸ κατὰ πρόσθεσιν ἢ διαίρεσιν ἢ ἀμφότερα· κατὰ πρόσθεσιν μὲν ὡς ἐπὶ τοῦ ἀριθμοῦ καὶ τοῦ χρόνου (λέγομεν γὰρ ἄπειρον εἶναι τὸν ἀριθμὸν τῷ ἐπ’ ἄπειρον αὔξεσθαι δύνασθαι· ἔστι γὰρ παντὸς τοῦ ληφθέντος ἀριθμοῦ μείζονα λαβεῖν· δι’ αὐτὸ δὲ τοῦτο καὶ τὸν χρόνον αὐξῆσαι δυνατόν), κατὰ διαίρεσιν δὲ διὰ τὴν ἐπ’ ἄπειρον τῶν μεγεθῶν διχοτομίαν, ἀμφοτέρως δὲ ὡς εἰ νοήσαις μίαν εὐθεῖαν, εἶτα ταύτην διχοτομουμένην, καὶ πάλιν τὸ ἕτερον μέρος διχοτομούμενον, καὶ τὸ μέρος τῷ μὲν μέρει προστιθέμενον τοῦ δὲ ἀφαιρούμενον· οὕτω γὰρ ἐπ’ ἄπειρον τὸ μὲν αὔξεται τὸ δὲ μειοῦται.

Απόδοσις:

Πέντε είναι οι τρόποι που λέγεται το άπειρο. Κατά έναν τρόπο άπειρο λέγεται αυτό που από τη φύση του δεν έχει καθόλου πέρας, αλλά είναι σαν κάτι το αδιάβατο και αδιέξοδο λόγω του ότι δεν μπορεί να πορευθεί καθώς δεν είναι διόλου ποσό, όπως ακριβώς λέμε και τη φωνή αόρατη λόγω του ότι δεν υποπίπτει καθόλου στην όψη. Της αυτής φύσεως είναι το σημείο και οι ποιότητες· διότι αυτά είναι άπειρα, το μεν σημείο ότι δεν έχει πέρας όντας αυτό πέρας, λόγω του ότι δεν έχει καθόλου μέγεθος, ομοίως δε και το λευκό και γενικώς η ποιότητα λόγω του ότι δεν έχει καθόλου δίοδο.

Κατά δεύτερο λόγο άπειρο λέγεται αυτό που έχει διέξοδο ατελείωτη, και του οποίου δεν είναι δυνατόν να βρεθεί ποτέ πέρας, όχι επειδή δεν μπορούμε να το διασχίσουμε, αλλά λόγω του ότι αυτό μηδέποτε καταλήγει κατά την έκταση μήτε τελειώνει στο μέγεθος.

Τρίτον, άπειρο λέμε αυτό που έχει μεν πέρας, αλλά από δική μας δυσχέρεια δεν έχει καταληφθεί. Τούτο δε συμβαίνει για δύο λόγους: ή λόγω της ποσότητας ή λόγω της ποιότητάς του. Έτσι λοιπόν λέμε τον λαβύρινθο άπειρο όχι επειδή δεν έχει κάποιο πέρας, αλλά λόγω του ότι είναι με στροφές και για τον λόγο αυτό δυσκολοδιάβατος. Λέμε και πως ο ωκεανός είναι άπειρος, επειδή λόγω της πολλής έκτασής του δεν μπορούμε να τον διαβούμε, αν και σε κάθε περίπτωση είναι διαπερατός.

Κατά τέταρτο τρόπο άπειρο λέγεται αυτό που είναι από τη φύση του να έχει πέρας, αλλά δεν έχει. Τέτοιο είναι ο κύκλος· διότι είναι μεν δυνατόν να λάβουμε ένα ενεργό σημείο σ’ αυτόν και να κάνουμε από κει την αρχή, αλλά αυτός δεν έχει κάποιο ορισμένο ενεργό σημείο, αφού μπορούμε να αρχίσουμε απ’ όπου θέλουμε· διότι και εκείνος που σχεδιάζει έναν κύκλο μέσω ενός κέντρου και μιας ακτίνας δεν αρχίζει από ένα ορισμένο σημείο, αλλά σχεδιάζει τον κύκλο απ’ όποιο σημείο θέλει, όπως και εκείνος που κινείται σε έναν κύκλο δύναται απ’ όπου θέλει να ξεκινήσει. Έτσι λοιπόν είναι άπειρος ο κύκλος, καθώς δεν έχει εξ εαυτού πέρας, και γι’ αυτό λέγεται άπειρος, αλλά δύναται να συνδέεται με άλλον κύκλο (μπορούμε δηλαδή να γράφουμε διαρκώς νέους κύκλους).

Πέμπτο σημαινόμενο του απείρου είναι το κατά την πρόσθεση ή τη διαίρεση ή και τα δύο αυτά μαζί. Κατά την πρόσθεση, ως έχει επί του αριθμού και του χρόνου (καθώς λέμε πως ο αριθμός είναι άπειρος λόγω του ότι δύναται επ’ άπειρον να αυξάνεται, αφού για κάθε αριθμό μπορεί κανείς να λάβει άλλον μεγαλύτερο· και για τον ίδιο λόγο είναι δυνατόν να αυξηθεί και ο χρόνος), κατά τη διαίρεση, λόγω της επ’ άπειρον διχοτομήσεως των μεγεθών, και κατά τα δύο αυτά μαζί, όπως αν εννοήσουμε μία ευθεία, μετά τη χωρίσουμε στη μέση, και ξανά στη μέση το ένα από τα δύο μέρη που θα λάβουμε, και από τη μια μεριά το ένα μέρος να αφαιρείται, από την άλλη να προστίθεται σ’ αυτό που μένει· έτσι λοιπόν το μεν επ’ άπειρον αυξάνεται, το δε επ’ άπειρον μειώνεται.

Βιβλιογραφία: Ιωαν. Φιλόπονος σχόλια εις τα Φυσικά του Αριστοτέλους
Απόδοση κειμένου: Κότσαλης  Γεώργιος

 

Developed by White Dynamics